Лето 1932 года. Группа из 4 х человек от своего лагеря на Кругозоре поднимается к вершине Эльбруса без местного проводника. Подняться нужно с 3000. До вершины 2500 метров по вертикали или около 10 км пути.
За плечами у них самодельная радиостанция метрового диапазона.

Идея была такая — дойти до Эльбруса, забраться на его вершину и посмотреть, как по горам будут распространяться эти волны, не будет ли каких-либо интересных явлений
Вторая такая же осталась внизу. В приюте 11 группа проверяет связь с лагерем через эту радиолинию длиной около 6-7 км.
Сделали аппаратуру. В лаборатории по вечерам собрали две самодельные радиостанции.
В день штурма начинается чудовищная метель, непрекращающаяся три дня. Пропитание заканчивается, и группа решает спускаться вниз.
Так и не удалось нам подняться на вершину Эльбруса.
Научным руководителем этой экспедиции был Владимир Александрович Котельников — советский учёный и инженер в области связи.
Через 70 лет его внук (Андрей Прохоров), взойдя на вершину Эльбруса, позвонит оттуда ему по мобильному телефону на дачу, в подмосковную Мозжинку, а в рюкзаке у него будет лежать «GPS».
Работа обеих этих систем будет основана на методе цифровой передачи информации, о котором Владимир через несколько месяцев после возвращения с Эльбруса в Москву впервые напишет в своей статье, в которой докажет возможность его осуществления

1949 год. США. В журнале Proceedings of the IRE (Institute of Radio Engineers) появилась статья Communication in the Presence of Noise
Её автор — Клод Шеннон - инженер и математик, работавший в тот момент в Bell Laboratories.
В этом труде Шеннон разобрал на пальцах пять теорем связи.

Одна из них звучит так:
Если функция ф от т не содержит частот выше, чем W, она однозначно определяется значениями ординат в точках расположенных друг от друга на расстоянии 1/2W секунд.
И эта теорема ни много ни мало запустит цифровую революцию.
Непонятно?
Сегодня мы разберём, что это означает на самом деле, почему у неё полдюжины названий, какое к ней отношение имеет Котельников и как мы с вами в ежедневной жизни сталкиваемся с ней.
Когда наши бабушки говорили по телефонам с наборным диском,
Когда наши мамы в 90-е звонили по первым GSM-телефона, когда вы сегодня звоните им через вотсап, когда они смотрят цифровые каналы на своём телевизоре, а вы фильм Нолана на своём ультра HD экране, когда она ложится в аппарат МРТ, а вы слушаете этот подкаст в формает mp3 — во всех случаях где-то глубоко в недрах железа и софта вы используете теорему от отсчётах.
Она же Теорема дискретизации, теорема WCS, торема Шеннона, Теорема Котельникова, теорема Найквиста, и в разных комбинациях этих имён. Терминальный пример теорема Уиттакера — Найквиста — Котельникова — Шеннона от отсчётах. И каждое название оправдано и живёт своей жизнью.
В своей публикации Communication in the Presence of Noise Шеннон говорит
This is a fact which is common knowledge in the communication art,
то есть этот факт является общепризнанным в мире связи. Однако не делает прямой отсылки к тому, кому принадлежит её формулировка и доказательство. Только косвенные на работы Найквиста и Хартли.
Но за 17 лет до этого в 1932 году в СССР Владимир Котельников подготовил доклад «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи для 1-го Всесоюзного съезда по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. Съезд не состоялся, а вместо него в 1933-м опубликовали сборник докладов, в который попала и статья Котельникова в размере 20 страниц и семи теорем.
Статьи прошли незамеченными.
Котельников направил статью в журнал Электричество, где её вернули автору из-за
перегруженности портфеля и узкого интереса.
Не интерес был узким, а лбы редакторов.
И следующие 16 лет ровно до публикации работ Шеннона мир пребывали в неведении о том, что теорема об отсчётах уже сформулирована и доказана.
Давайте разберёмся что же скрывается под сложной формулировкой непонятной обывателю. На самом деле, даже инженерам связи она до конца порой непонятна. Но давайте на пальцах.
Для этого нам придётся копнуть вглубь истории.
Вы наверняка знаете, что сегодня всё в Интернете передаётся в виде ноликов и единиц, то есть двух различных и различимых состояний. В простейшем случае — это есть ток в кабеле, нет тока в кабеле. И сложно представить, что может быть как-то иначе. Придумайте свой вариант, как доставить видеоролик на экран вашего смартфона?
Ещё сложнее представить, что сама возможностьвот такого кодирования информации была совершенное неочевидной ещё 100 лет назад. И даже не только возможность, а даже идея, !
Хотя на секундочку двузнаковый телеграф Морзе к 30-м годам 20-го века существовал уже около 60 лет. Но то точка-тире, а то видеоролик.

Итак, чуть более 100 лет назад люди учились передавать через проволоку и радиоэфир голос.
На одной стороне стоит микрофон, диафрагма которого вибрирует от звуковых волн, голоса человека, давит на угольный порошок с разной силой. Через этот порошок проходит электрический ток.
При сжатии плотность порошка возрастает, контакт улучшается, сопротивление уменьшается. При уменьшении давления всё наоборот.
Соответственно электрический ток, проходящий через порошок, меняется. А электрическое поле им образованное со скоростью света распространяется по кабелю до динамика на другой стороне, который наоборот приводит в движение диафрагму и превращает электрический сигнал в звуковую волну.
То есть по факту мы берём изначальную непрерывную звуковую волну, превращаем в точно такую же электрическую, а потом снова в звуковую.

Вот такой вот переход сигнала между разными природами. Бежала волна по воздуху, перешла в провод, потом снова в воздух и в ухо. Как ручеёк весной перенаправили.
Это называется аналоговой или непрерывной передачей. Электромагнитая волна просто повторяет изначальную и содержит такое же бесконечное количество точек. И занимает всю полосу в проводе. Передавать через него два разговора невозможно. Такая передача очень неустойчива к шумам и крайне плохо поддаётся восстановлению.
Кроме того зашифровать аналоговый сигнал сложно. А для правительственных и военных переговоров это ключевая необходимость.
И это считалось фундаментальным неизменным правилом — ведь как иначе передать речь?
Вы скажете, что можно просто очень часто снимать значение и передавать его через провод. Это и есть цифровая передача. Так мы сейчас и делаем.
И цифровая передача даёт ответы и на вопросы помехоустойчивости, и на вопросы шифрования.
Вот только в 20-е годы 20-го века делать так не умели. Не понимали как, и техники подходящей не было. Да и как часто нужно делать эти измерения? 10 раз в секунду? 1000?
И вот революционными стали работы Котельникова в СССР и Шеннона в США.
Они объясняют, что если в спектре изначального сигнала есть максимальная частота, то можно снимать значения сигнала в два раза чаще и этого достаточно, чтобы однозначно восстановить сигнал без искажений.
Пример
Просто вдумайтесь в это. Вместо того, чтобы передавать всю бесконечную информацию про изначальный сигнал в виде аналоговой волны, можно просто передавать какое-то ограниченное количество значений известного ограниченного размера.
Конкретные значения легко восстанавливать, их можно всячески тасовать и менять, чтобы обеспечить шифрование.
Вот только тут есть проблема, которая не давала получить результат просто в лом снимая значения сигнала — там не максимальной частоты.
Давайте поближе к жизни.
Вот наше ухо способно воспринимать звук до 20 000 Гц. Казалось бы вот она - максимальная частота. Даже все музыкальные инстументы в основном в него, вроде умещаются.
Вот только это не значит, что звуков более высокой частоты нет. Конечно есть. Просто мы их не слышим. Медицинский ультразвук — это 10 МГц. А теоретический физический предел — 10ТГц. Но его вы, конечно, не услышите.
И вот если влоб снимать значения, то высокие частоты, окружающие нас будут переодеваться в более низкие, и создавать искажения. Условно звук частотой в 25кГц превратится в 19, который мы будем слышать, но его не существовало.
И вот до статьи Владимира Котельникова этого не понимал никто.
Теорему
отсчетов я придумал, а технически осуществить ее тогда было еще невозможно, недостаточно высоким был уровень развития электроники
После его работы стало понятно, что если мы просто возьмём и срежем частоты выше определённого значения, то мы получим сигнал в спектре которого, есть максимальная частота. И вот тогда уже можно начинать снимать значения в два раза чаще, чем эта частота — и никаких искажений.
Такое устройство называется фильтром низких частот, или антиалиасинговый фильтр.
И получается, что для передачи звука мы можем снимать значения с частотой 40 кГц — вдвое чаще, чем частота 20 кГц. Так и есть, 44.1кГц — это стандарт для дескритизации, например, в CD-дисках, гед теорема Котельникова впревы нашла применение на консьюмерском рынке.
А вот почему 44.1, ещё и такое неровное число, это тема для отдельного подкаста.
А вот для голоса человека и вовсе достаточно частоты дескретизации в 8 кГц, потому что основной диапазон находится в спектре до 3.4 кГц. И в далёкие 1930-е этого было более чем достаточно.
Ключевое тут, что эта теорема доказывает, что вот по таким отсчётам на принимающей стороне можно однозначно восстановить изначальный аналоговый сигнал без потерь и искажений.

А что это значит для нас с вами?
Давайте я просто начну перечислять, а вы меня остановите, когда надоест.
Телефония
Музыкальные CD-диски
Форматы MP3 и ААС
Цифровое телевидение
Матрицы камер и сканеры
Сотовая связь всех поколений.
Аппараты МРТ и КТ
- Пульсоксиметры
- Аппараты ИВЛ
- Кардиомониторы
Но справедливость должна восторжествовать. Одно из названий - теорема WCS.
Давайте мы расставим точки в этой истории. Кто и что сделал в этом гениальном квартете Уиттакер, Найквист, Котельников, Шеннон?
В 1999 году Ханс Люке провёл масштабное расследование о превенстве в формулировке и доказательстве этой теоремы.
Английский математик Эдмунд Уиттакер в 1915 озвучил теорему о том, что функцию с ограниченным спектром можно однозначно восстановить по её дискретным значениям. Это строго математическое определение.
В 1928 году швед Гарри Найквист - инженер из Белл лабораториес публикет в Bell System Technical Journal статью Certain Factors Affecting Telegraph Speed (»Некоторые разделы теории передачи по телеграфу«), в которой пытается ответить на вопрос с какой максимальной скоростью можно передавать данные по каналу с определённой полосой пропускания, оказывается в два раз быстрее, чем эта самая полоса пропускания
Сформулированая теорема очень похожа на теорему Котельникова, но применительно к телеграфу, то есть решает узкую задачу.
В 1933 году публикуется на русском языке статья Котельникова, в которой он наконец формулирует в общих терминах теорему об отсчётах, и указывает на её явное применение в электросвязи.
Но статья остаётся незамеченной, потому что опубликована на русскойм языке
А в 1948 году Клод Шеннон - Тоже инженер Белл Лабс, как и Найквист, через 20 лет после него публикует в том же Bell System Technical Journal статью A Mathematical Theory of Communication (»Математическая теория связи«). А следом за ней в 1949 ещё две: »связь при наличии шума« и рассекреченную »теорию связи в секретных системах«, где были разобраны многочисленные вопросы дискретизации, восстановления сигналов, кодирования, шифрования, помехоустойчивости и прочие.
Итого, именно теорема об отсчётах первый раз была сформулирована и строго доказана Котельниковым. Но прикладное применение она и многие другие получили именно после публикации статей Шеннона.
Только на стыке веков был признан приоритет Владимира Котельникова в теореме об отсчётах.
Международный институт IEЕЕ наградил Владимира Александровича в 1973 г. медалью им. Хернанда и Созенеса Бена за выдающийся вклад в развитие теории и практики радиосвязи, основополагающие исследования и руководство работами в области радиолокационной астрономии
в 1999 г. высшей ежегодной наградой - медалью им. Александра Грехама Белла за фундаментальный вклад в теорию сигналов,
в 2000 г. высшей медалью почета - Золотой медалью в честь III-го тысячелетия за выдающиеся достижения в областях его научной деятельности.
Международная академия астронавтики в 1998 году наградила В.А. Котельникова своей высшей ежегодной наградой – Премией имени фон Кармана в признании его ведущей роли и достижений первооткрывателя в деле развития инженерных наук, как на национальном, так и международном уровне, и мирного использования космического пространства; за творческое мышление, за интуицию и дух сотрудничества в поиске решений сложных задач и, в особенности, за выдающуюся роль в обеспечении постоянного присутствия человека в космосе.
Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) в 1999 г. наградил В.А. Котельникова своей основной премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную, в аспекте коммуникационных технологий, теорему отсчетов.
Котельников в СССР на протяжении всей своей жизни развивал цифровую связь и системы, шифрования, как это делал за океаном его коллега Шеннон.
А я диктующий вам сейчас этот подкаст в момент публикации нахожусь в Терсколе — у подножия Эльбруса.
Но в моих руках будет мобильный телефон, которым я запишу кружочек в телеграм, фильтр низких частот срежет лишние гармоники, аналогово-цифровой преобразователь дискретизирует видео и звук, отправит его через радиоэфир вместе со звонками и данными десятков других таких же восходителей. По оптическим линиям сигнал пронесётся тысячи километров, чтобы через wi-fi добраться до цап на вашем телефоне, где из дискретных отсчётов восстановится изначальный сигнал и из динамиков вы услышите мой голос.